Fragen zu harmonischen Schwingungen

Frage 1:
Ein Maximum der Auslenkung einer harmonischen Schwingung $x = x_{0} cos(\omega_{0}t + \varphi )$ liegt um $t_{1}$ vor dem Zeitnullpunkt. Wie groß ist der Nullphasenwinkel $\varphi$ ?
Frage 2:
Weshalb treten in der Ort-Zeit- Funktion der harmonischen Schwingung zwei Integrationskonstanten auf ? Welche physikalische Bedeutung haben diese beiden Konstanten ?
Frage 3:
Stellen Sie für die Federschwingung in einem Diagramm die potentielle Energie über der Zeit dar !
Frage 4:
Wie lauten die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung und die Strom-Zeit- Funktion in einem elektrischen Schwingkreis ?
Frage 5:
Zeigen Sie, daß für die gedämpfte Schwingung $x = x_{A} e^{-\gamma t} cos(\omega t)$ die Beziehung $x(t+T) = x(t) e^{-\gamma T}$ erfüllt ist ?
Frage 6:
Wie kann man durch Beobachten der Ort-Zeit- Funktion einer gedämpften Schwingung die Abklingkonstante $\gamma$ bestimmen ?
Frage 7:
Welche Formen der gedämpften Schwingung ergeben sich für die Fälle $\gamma < \omega_{0}$, $\gamma = \omega_{0}$ und $\gamma > \omega_{0}$ ?
Frage 8:
Eine Federschwingung wird durch die Gleitreibung zwischen der schwingenden Punktmasse und ihrer horizontalen Unterlage gedämpft. Gilt für diese Bewegung die Ort-Zeit- Funktion ?
Frage 9:
Die Differentialgleichung für die Stromstärke im elektrischen Schwingkreis lautet

$$L \frac{d^{2}I}{dt^{2}} + R \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I = 0 .$$

Wie groß sind die Kreisfrequenz $\omega$ und die Abklingkonstante $\gamma$ der gedämpften Schwingung ?
Frage 10:
Zeigen Sie am Beispiel einer erzwungenen Federschwingung, daß bei äußerer Erregung für sehr kleine Frequenzen und beliebige Dämpfungen die Resonatoramplitude mit der Erregeramplitude übereinstimmt ! Geben Sie hierfür eine anschauliche Erklärung. Zur Erinnerung: Die DGL $d^{2}x/dt^{2} + 2 \gamma (dx/dt) + \omega_{0}^{2} x = (F_{0}/m) cos(\omega t)$ wird gelöst durch $x(t) = x_{0} cos(\omega t -\varphi)$ mit $x_{0} = (F_{0}/m)/\sqrt{(\omega_{0}^{2} -\omega^{2})^{2} +(2 \omega \gamma)^{2}}$.
Frage 11:
Zeigen Sie, daß bei äußerer Erregung und bei beliebiger Dämpfung die Resonatoramplitude verschwindet, wenn die Erregerfrequenz sehr groß wird ! Geben Sie hierfür eine anschauliche Erklärung.

Lösungen:
Frage 1:
Ein Maximum der Auslenkung erhält man, wenn das Argument der Cosinusfunktion gleich Null wird, daher $\omega_{0} t_{1} + \varphi = 0$ oder $\varphi = - \omega_{0} t_{1}$. Da $t_{1} < 0$ ist, wird $\varphi > 0$.
Frage 2:
Die Ort-Zeit- Funktion der harmonischen Schwingung ist die Lösung einer DGL, die die zweite Ableitung nach der Zeit enthält. Bei zweimaliger Integration treten zwei Konstanten auf, und zwar die Amplitude $x_{0}$ und der Nullphasenwinkel $\varphi$.
Frage 3:
Aus $x(t) = x_{0} cos(\omega_{0} t)$ folgt $E_{p}(t) = (D/2) x^{2} = (D/2) x_{0}^{2} cos^{2}(\omega_{0} t)$.
Frage 4:
$d^{2} I/dt^{2} + \omega_{0}^{2} I = 0$ und $I = I_{0} cos(\omega_{0} t + \varphi)$. Die DGL der harmonischen Schwingung gilt also für den Strom $I$.
Frage 5:
Aus $x(t) = x_{A} e^{-\gamma t} cos(\omega t)$ folgt $x(t+T) = x_{A} e^{-\gamma (t+T)} cos(\omega(t+T))$ und $x(t+T) = x_{A} e^{-\gamma t} e^{-\gamma T} cos(\omega t) = x(t) e^{-\gamma T}$.
Frage 6:
Man mißt das Amplitudenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Schwingungen $x_{i+1}/x_{i}$ und die Zeitdauer $T$ zwischen dem Auftreten der Amplituden auf ein- und derselben Seite der Auslenkung. Hierfür gilt $x_{i+1}/x_{i} = e^{-\gamma T}$ und daher $\gamma = (1/T) ln(x_{i}/x_{i+1})$. Man erhält allerdings eine größere Genauigkeit, wenn man eine größere Anzahl $n$ von Schwingungen abwartet. Dann gilt entsprechend $\gamma = (1/(nT)) ln(x_{i}/x_{i+n})$.
Frage 7:
Der erste ist der normale Schwingfall, der zweite der aperiodische Grenzfall und der Dritte der Kriechfall. Zusatzfrage: Worin unterscheidet sich der Kriechfall vom aperiodischen Grenzfall ?
Frage 8:
Die Gleitreibung hat das Kraftgesetz $F = \pm \mu m g$. Daraus folgt die Bewegungsgleichung $m(d^{2}x/dt^{2}) + kx = \pm \mu m g$. Die Lösung dieser Gleichung ist keine harmonische Schwingung.
Frage 9:
Vergleicht man die DGL für den elektrischen Schwingkreis mit der DGL $d^{2}x/dt^{2} +2 \gamma (dx/dt) + \omega_{0}^{2} x = 0$, so erhält man sofort $\gamma = R/(2L)$, $\omega_{0}^{2} = 1/(LC)$ und $\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}}$.
Frage 10:
Anschaulich ist relativ klar, daß die Feder nicht mehr schwingt, wenn die Erregerfrequenz gleich Null wird. Die Feder wird vielmehr wie eine starre Stange mitbewegt. Aus den Formeln ist das allerdings nicht so einfach zu schließen. Das eine freie Ende der Feder wird mit der Auslenkung $\xi(t) = \xi_{0} cos(\omega t)$ bewegt. Die Federkraft ist dann $F = -D(x - \xi)$, wenn $x$ die Dehnung der Feder aus der Ruhelage ist. Die Bewegungsgleichung folgt hieraus zu $m (d^{2}x/dt^{2}) = -D(x-\xi) - r (dx/dt)$ oder $d^{2}x/dt^{2} + (r/m) (dx/dt) + (D/m) x = (D/m) \xi_{0} cos(\omega t)$. Vergleich mit der allgemeinen Schwingungsgleichung $d^{2}x/dt^{2} + 2 \gamma (dx/dt) + \omega_{0}^{2} x = (F_{0}/m) cos(\omega t)$ zeigt, daß $F_{0}/m = (D/m) \xi_{0} = \omega_{0}^{2} \xi_{0}$ sein muß. Daher folgt für $\omega = 0$:

$$x_{0} = \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{... ...}} = \frac{\omega_{0}^{2} \xi_{0}}{\omega_{0}^{2}} = \xi_{0}.$$

Frage 11:
Setzt man in die Formel für $x_{0}$ die Erregerfrequenz $\omega = \infty$ ein, so folgt $x_{0} = 0$. Die Feder kann die Punktmasse nicht mehr bewegen, weil bei endlich großen Auslenkungen die Beschleunigung unendlich groß wäre und dazu eine unendlich große Kraft erforderlich wäre.