Übung Nr. 4

Abgabetermin: Mittwoch, den 22. November 2000
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Eine Masse $m$ führt Schwingungen in der zweidimensionalen Ebene aus, mit $\vec{r}(t) = (x(t),y(t)) = A(sin(\omega_{1} t), sin(\omega_{2}t))$ (Lissajou'sche Figuren). Zeigen Sie, daß $\omega_{1}/\omega_{2}$ eine rationale Zahl sein muß, damit die Schwingung periodisch ist, d.h. daß es ein ein festes $T$ gibt, sodaß für alle Zeiten $t$ immer $\vec{r}(t + T) = \vec{r}(t)$ gilt.
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Fledermäuse orientieren sich mit Hilfe von Ultraschallsignalen. Eine von zwei Fledermäusen $(F_{1})$ fliegt mit einer Geschwindigkeit von $v_{1} = 10 \; m/s$ frontal auf eine Wand zu, wobei sie Ultraschallsignale mit einer Frequenz von $5 \cdot 10^{4} \; Hz$ abgibt. Eine zweite Fledermaus $F_{2}$ sitzt in Fluchtlinie zur ersten Fledermaus auf einem Baum und hört zu. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt $c = 330 \; m/s$.
a) Welche Frequenzen hört die Fledermaus $F_{1}$ und welche Frequenzen hört die Fledermaus $F_{2}$ ?
b) Welche Frequenzen hören die beiden Fledermäuse, wenn sich die Wand mit der Geschwindigkeit $v_{w} = 1 \; m/s$ auf die Fledermäuse zu bewegt ?

Aufgabe 3: (7 Punkte)
Im freien Raum breitet sich ein Magnetfeld

$$\vec{B}(x,y,z) = \vec{e}_{x} a \; sin(\omega t - kx) + \vec{e}_{y}a k y \; cos(\omega t - kx)$$

aus. $\vec{e}_{x}$ und $\vec{e}_{y}$ sind hierbei Einheitsvektoren auf der $x$- und $y$- Achse.
a) Zeigen Sie, daß das angegebene Magnetfeld die Wellengleichung erfüllt.
b) Berechnen Sie das zugehörige elektrische Feld.