Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 9

(Bonusübung)

Besprechung: Mittwoch, den 17. Januar 2001
Aufgabe 1:(Bonusaufgabe) (5 Punkte)
Diese Näherung kommt aus der allgemeinen Formel

$$n^{2} = 1 + \frac{Ne^{2}}{\epsilon_{0}} \sum_{i} \frac{b_{i}} {m_{i}(\omega_{i}^{2} -\omega^{2})} ,$$

wenn man nur eine Resonanz aus der Summe herausgreift und den Beitrag aller anderen Resonanzen in der Konstanten $A'$ zusammenfasst:

$$n^{2} = A' + B' \frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}.$$

Zur Vereinfachung wird die Wurzel noch entwickelt:

$$n \approx A + \frac{B}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.$$

Auch die Konstanten $A$ und $B$ hängen natürlich noch schwach von $\omega$ ab, was wir aber hier vernachlässigen. Der Brechungsindex ist als Funktion der Frequenz gegeben. Für die Phasengeschwindigkeit folgt:

$$v_{ph} = \frac{c}{n} = \frac{c(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})} {... ... -\omega^{2})+B} = \frac{c}{A+B/(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}.$$

Zur Berechnung der Gruppengeschwindigkeit schreiben wir zunächst $k = (\omega/c)n$ und bedenken, daß $n(\omega)$ noch ein Funktion von $\omega$ ist. Daher gilt

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{dk}{d\omega} = \frac{n}{c} + \frac{... ...ac{n}{c}\left( 1 + \frac{\omega}{n} \frac{dn}{d\omega}\right).$$

Auswertung dieser Formel ergibt

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{1}{c} \left( A + B\frac{\omega_{0}^{2}+\omega^{2}} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}} \right)$$

und daher

$$v_{gr} = \frac{c}{A + B(\omega_{0}^{2}+\omega^{2})/(\omega_{0}^{2} -\omega^{2})^{2}}.$$

Zur Anfertigung der Skizze bemerken wir zunächst, daß für $\omega \ll \omega_{0}$ und $\omega \gg \omega_{0}$ die folgenden Grenzwerte angenommen werden:

$$v_{ph} = v_{gr} = \frac{c}{A+B/\omega_{0}^{2}} \; \; \; fuer \; \; \; \omega \ll \omega_{0}$$

$$v_{ph} = v_{gr} = \frac{c}{A} \; \; \; fuer \; \; \; \omega \gg \omega_{0}$$

Bei den Skizzen muß beachtet werden, daß unsere Formel auf der Resonanz selbst nicht gilt. Der Brechungsindex und die Phasengeschwindigkeit dürfen natürlich nicht kleiner Null werden.
Aufgabe 2:(Bonusaufgabe) (5 Punkte)
a) Die Intensität ist proportional zu $\vec{E}^{2}$. Für die elektrische Feldstärke machen wir den Ansatz

$$\vec{E} = \vec{E}_{0} e^{i(\tilde{k}z - \omega t)},$$

wobei die Wellenzahl $\tilde{k}$ komplex ist, da der Brechungsindex $\tilde{n} = n + i \kappa$ komplex ist (siehe Skript). Da $\tilde{k} = (\omega/c)\tilde{n} = (\omega/c)(n + i\kappa)$, können wir die elektrische Feldstärke schreiben:

$$\vec{E} = \vec{E}_{0} e^{i(n\omega z/c+i\kappa\omega z/c - \... ...t)} = \vec{E}_{0} e^{-z/\delta} e^{i(n\omega z/c - \omega t)}.$$

Daraus folgt für die Intensität

$$I \sim E_{0}^{2} e^{-2z/\delta}.$$

Die Intensität ist also bei der Strecke $R_{e} = \delta /2$ auf den $1/e$ -ten Teil abgesunken.

$$R_{e} = \frac{\delta}{2} = \frac{c}{2\kappa \omega} = \frac{\lambda_{0}} {4 \pi \kappa} = 0.53 \; \lambda_{0}.$$

b) Das Magnetfeld $\vec{B}$ ist nach Maxwell in der folgenden Form an die elektrische Feldstärke gekoppelt:

$$\vec{B} = \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E}.$$

Hier ist aber jetzt $\vec{k}$ auch komplex. Wir schreiben daher $\vec{k} = (\tilde{n}(\omega/c) \vec{s}$ mit dem Einheitsvektor $\vec{s}$ in Ausbreitungsrichtung. Mit $\tilde{n} = \vert\tilde{n}\vert e^{i\varphi}$ und $tan(\varphi) = \kappa /n$ folgt

$$\vec{B} = \frac{\vert\tilde{n}\vert}{c} \vec{s} \times \vec{E} e^{i\varphi}.$$

Der Phasenwinkel ist also $tan(\varphi) = 0,1$ oder $\varphi = 5,7^{o}$.
Aufgabe 3:(Bonusaufgabe) (5 Punkte)
Wir hatten bereits in Aufgabe 1 die Formel

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{dk}{d\omega} = \frac{n}{c} + \frac{\omega}{c} \frac{dn}{d\omega}.$$

Wegen $\omega = 2\pi c/\lambda$ folgt $d\omega/d\lambda = -2\pi c /\lambda^{2}$ und daher

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{n}{c} - \frac{\lambda}{c} \frac{dn}... ...n}{c} \left( 1 - \frac{\lambda}{n} \frac{dn}{d\lambda} \right)$$

Dieses kann man auch schreiben:

$$v_{gr} = v_{ph} \frac{1}{1-(\lambda/n)(dn/d\lambda)}.$$

Hierbei ist also jetzt $\lambda$ die Wellenlänge im Vakuum. Die Phasengeschwindigkeit ist $v_{ph} = c/n$ und

$$1 - \frac{\lambda}{n} \frac{dn}{d\lambda} = 1 - \frac{\lambda b}{a + b\lambda} = \frac{a}{a + b \lambda} = \frac{a}{n}.$$

Daher ist

$$v_{gr} = \frac{c}{n} \frac{n}{a} = \frac{c}{a}$$

unabhängig von der Wellenlänge im Vakuum.
b) Die Gruppengeschwindigkeit muß kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit sein, daher muß $a \geq 1$ sein.