Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 7
Besprechung: Mittwoch, den 13. Dezember 2000
Aufgabe 1: (7 Punkte)
Alle Strahlen, die unter dem Einfallswinkel $\alpha > \alpha_{G}$ auf die Zylinderflächen einfallen, werden totalreflektiert. Bei allen folgenden Reflektionen bleibt der Einfallswinkel erhalten, sodaß diese Strahlen auch die Endflächen erreichen. Strahlen, die mit $\alpha < \alpha_{G}$ auf die Zylinderfläche auftreten, werden teilweise reflektiert, bei jedem Mal mit einem erheblichen Intensitätsverlust (dat kriegen mer später). Diese Strahlen sind nach ca. 60 Reflektionen daher sicher verschwunden.

a) Wegen $sin\alpha_{G} = 1/n$ und $\beta_{G} = 90^{o}- \alpha_{G}$ folgt $cos\beta_{G} = sin\alpha_{G} = 1/n$. Das Raumwinkelelement $\Omega$ ist daher

\begin{displaymath}
\Omega = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\beta_{G}} sin\...
...G}) = 2\pi \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \frac{2}{3} \pi .
\end{displaymath}

Die auf die Endfläche auftreffende Leistung ist damit

\begin{displaymath}
L = \frac{\Omega}{4\pi} L_{0} = \frac{(2/3)\pi}{4\pi} L_{0} = \frac{2}{3} \; W = 1,5 \; W.
\end{displaymath}

b) Der Winkel der Totalreflektion ist jetzt gegeben durch $sin\alpha_{G}' = n_{W}/n$ und der Raumwinkel durch

\begin{displaymath}
\Omega' = 2\pi \left( 1 - \frac{n_{W}}{n} \right) = 0,113 \cdot 2\pi.
\end{displaymath}

und daher

\begin{displaymath}
L' = \frac{\Omega'}{4\pi} L_{0} = 0,0567 \cdot L_{0} = 0,227 \; W.
\end{displaymath}


Aufgabe 2: (7 Punkte)
Am einfachsten löst man diese Aufgabe mit dem Fermat'schen Prinzip. In der Literatur findet man noch viele weitere Lösungen. Bekanntlich ist die Parabel der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt (Brennpunkt) und von einer festen Geraden (Leitlinie) gleich weit entfernt sind.

Nach dem Fermatschen Prinzip muß für alle Punkte einer Wellenfront, parallel zur Leitlinie, gelten:

\begin{displaymath}
\overline{W_{1} A_{1}} + \overline{A_{1} F} = \overline{W_{2} A_{2}} + \overline{A_{2} F}
\end{displaymath}

Da die Leitlinie parallel zur Wellenfront ist, gilt aber auch

\begin{displaymath}
\overline{W_{1} A_{1}} + \overline{A_{1}D_{1}} = \overline{W_{2}A_{2}} +
\overline{A_{2} D_{2}}
\end{displaymath}

Die vorherige Gleichung ist daher genau dann erfüllt, wenn $\overline{A_{1}F}
= \overline{A_{1}D_{1}}$ und $\overline{A_{2}F} = \overline{A_{2}D_{2}}$ ist. Dieses ist aber genau die obige Definition der Parabel.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Am einfachsten nimmt man die Formel auf Seite 104 im Skript und approximiert $sin(\gamma/2) \approx \gamma/2$ und $sin((\gamma + \delta)/2) \approx (\gamma + \delta)/2$. Dann folgt sofort die angegebene Behauptung. Hierbei muss allerdings auch noch vorausgesetzt werden, daß $\delta$ klein ist. Beim symmetrischen Strahlendurchgang ist aber immer $\delta < \gamma$. Diese einfache Formel sieht man in der Literatur oft als einzige Formel für die Ablenkung des Strahls beim Prisma. Man muss allerdings beachten, daß sie nur in der Nähe des symmetrischen Strahlendurchgangs und für kleine brechende Winkel gilt.

b) Diese einfache Formel gestattet es nun, auch zusammengesetzte Prismensysteme zu untersuchen, was mit der genauen Formel nur mit mühsamen Rechnungen möglich ist. In dieser Anwendung hier das Geradsichtprisma.
Die Gesamtablenkung ist die Differenz der Einzelablenkungen. Natürlich kann man nicht in beiden Prismen den symmetrischen Strahlendurchgang erreichen, trotztdem kann man (offensichtlich) näherungsweise die obige Formel benutzen.

\begin{displaymath}
\delta = \delta_{K} - \delta_{F} = (n_{K,D}-1)\gamma_{K} - (n_{F,D}-1)\gamma_{F}
\end{displaymath}

Wenn $\delta = 0$ werden soll, muß also

\begin{displaymath}
\gamma_{F} = \frac{n_{K,D}-1}{n_{F,D}-1} \gamma_{K} = 8,3^{o}.
\end{displaymath}

c) Keine Ablenkung erhält man natürlich nur für eine Wellenlänge. Für die Wellenlänge $486 \; nm$ gilt dann

\begin{displaymath}
\delta = (n_{K,x}-1)\gamma_{K} - (n_{F,x}-1)\gamma_{F} \approx -0.02718^{o}.
\end{displaymath}

Zusatzaufgabe bei der Besprechung:
Zeigen Sie, daß beim symmetrischen Strahlendurchgang die Ablenkung minimal ist.



Harm Fesefeldt
2007-12-20