Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 6
Besprechung: Mittwoch, den 13. Dezember 2000
Aufgabe 1: (8 Punkte)
a) Zunächst müssen wir die Kapazitäts- und Induktivitätsbelegung
berechnen.
Nach dem Gaußschen Satz ist im Innern der Ader und außerhalb der konzentrischen
Hülle die elektrische Feldstärke Null. Zwischen Ader und Hülle gilt
, wobei
die Linienladungsdichte ist und die Länge des Kabels. Die Integration ist über
die Oberfläche des Zylinders mit Radius
und Länge
zu erstrecken. Daher ist
und
Die Potentialdifferenz zwischen Innen- und Aussenleiter ist
Mit und folgt schliesslich für die Kapazitätsbelegung
Der Amperesche Satz lautet
Wegen der Symmetrie hat nur eine Komponente und ist auf einem
Kreis mit Radius konstant. Daher folgt für
:
und
Der magnetische Fluss ist
wobei hier also die Fläche durch die Ebene vom Radius bis und der
Länge gegeben ist:
Nach Definition ist , daher folgt
b) Für die Phasengeschwindigkeit und den Wellenwiderstand erhält man wegen
und der Vakuumlichtgeschwindigkeit
:
c) Die Hälfte der Vakuumlichtgeschwindigkeit erhalten wir für
, also für
oder
. Die zweite Bedingung lautet dann:
oder
.
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Diese Aufgabe behandelt das Puls-Clipping, das in der Literatur fast überall falsch
oder sehr vereinfacht dargestellt wird. Zunächst behandeln wir die Reflektion und den
Durchlaß der Spannung an einer Verzweigung.
Stetigkeitsbedingung und Energiesatz an der Verzweigung lauten
Hierbei sind , und die Spannungen der einfallenden, reflektierten
und durchgelassenen Welle und , , die Impedanzen. In unserem Fall
ist
. Mit dem Ansatz
folgt aus der Stetigkeitsbedingung
. Wir setzen dieses in den Energiesatz ein und erhalten
eine quadratische Bestimmungsgleichung für :
die durch gelöst wird. Also gilt bei unserer Verzweigung:
und
. Dieses Ergebnis wenden wir jetzt auf die Delay-Line an.
a) Zunaächst der Fall mit kurzgeschlossenem Ende. Der erste auf die Delay-Line durchgelassene
Puls der Stärke wird am Ende mit umgegehrtem Vorzeichen reflektiert und kommt
nach der Verzweigung mit
auf die Leitung zurück. Gleichzeitig wird
ein Puls der Größe
auf die Delay-Line zurückreflektiert und kommt
danach mit der Größe
auf die Leitung zurück. Insgesamt erhalten
wir nach jedem Meter Länge des Pulses einen zustätzlichen Puls
b) Entsprechend sieht es beim offenen Ende in der Delay aus, nur das jetzt diese Pulse
mit alternierenden Vorzeichen auf die Leitung zurückkommem.
cm
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Die relativistische exakte Formel ist nach Vorlesung
Die Taylorentwicklung für lautet:
Mit dieser Näherung erhalten wir
Bezeichnen wir den Wert aus der nichtrelativistischen Formel mit
, so soll also gelten
Einsetzen der oben angegebenen Formeln ergibt die Bedingung
Daraus folgt
.
Harm Fesefeldt
2007-12-19