Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 4
Besprechung: Mittwoch, den 29. November 2000
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Sei
der Bahnpunkt zur Zeit , so muß es
bei einer periodischen Bahn einen späteren Zeitpunkt mit
konstantem geben, für den
oder auch
gilt.
Die letzte Gleichung können wir mit Hilfe trigonometrischer Formeln
schreiben als
Diese Bedingungen sind erfüllt, wenn gleichzeitig
Daher muß
eine rationale Zahl sein. Die obigen Bedingsgleichungen sind auch
erfüllt, wenn
Die Zahlen
sind allerdings
in der ersten Lösung bereits enthalten.
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Wir gehen von der in der Vorlesung angegebenen Formel
aus.
a) Die Geschwindigkeit der Fledermaus ist
und ihre Senderfrequenz
. Betrachten wir zunächst die
Fledermaus . Sie bewegt sich nicht, also ist . Sie hört einmal
die direkt von kommenden Frequenzen. Diese sind wegen
und damit
durch
gegeben. Die Wand wirkt als Empfänger der Frequenz
. In diesem Fall ist ebenfalls , aber
und damit
. Diese Wellen werden reflektiert
und ebefalls von empfangen. Die Fledermaus hört einmal die
Frequenz in ihrem eigenen Ruhesystem. Zum anderen hört sie die von der Wand
reflektierten Wellen, allerdings als Beobachter mit der Geschwindigkeit
und
oder
, d.h.
. Zusammngefaßt erhalten wir:
b) Die Frequenzen und ändern sich nicht. Die Wand mit
wirkt jetzt als Empfänger der Frequenz
und als Sender der Frequenz
Daraus folgt für die Grequenz :
Die Änderungen sind also sehr klein, trotzdem können Fledermäuse
diese wahrnehmen.
Aufgabe 3: (7 Punkte)
a) Nach Vorlesung ergibt die Anwendung des Laplace- Operators auf einen Vector
Obwohl die - Komponente des - Feldes ausser von
noch von abhängt, ist trotzdem
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt
ist aber die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen
Wellen.
b) Im freien Raum () lautet die vierte Maxwellsche Gleichung
Die einzig nicht verschwindende Ableitung ist im vorliegenden Problem
. Daher folgt
Integration über die Zeit liefert bei Vernachlässigung der
Integrationskonstanten
Harm Fesefeldt
2007-12-14