Lösungen zur Übung Nr.12

Bonusübung

Abgabetermin: Montag, d. 18. Juli 2005

Aufgabe 1: (5 Punkte)
Die Wellenfunktionen des H-Atoms sind allgemein

$$\psi_{n,l,m} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} R_{n,l}(r) Y^{l}_{m}(\theta) e^{im\varphi}$$

Mit $\vec{r} = r(sin\theta \; cos\varphi, sin\theta \; sin\varphi, cos\theta)$ kann man das Integral des Dipolmomentes faktorisieren

$$\vec{M_{i,k}} = e \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} dr \; r^... ...Y_{m_{k}}^{l_{k}} Y_{m_{i}}^{l_{i}} e^{i(m_{k}-m_{i}) \varphi}$$

Daraus erhalten wir für $m_{i} = m_{k} = 0$

$$M_{i,k}^{x} \sim \int_{0}^{2\pi} d\varphi \; cos\varphi = 0$$

$$M_{i,k}^{y} \sim \int_{0}^{2\pi} d\varphi \; sin\varphi = 0$$

Bei der Berechnung der z-Komponente ist für unseren speziellen Fall

$$\int_{0}^{2\pi} d\varphi \; e^{0} = 2 \pi$$

und

$$\int_{0}^{\pi} d(cos\theta) \; cos^{2}\theta = \frac{2}{3}$$

Die Integration der $r$-Abhängigkeit plus aller Faktoren ergibt

$$\frac{\sqrt{2}}{4 a_{0}^{4}} \int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-r(1... ...0}^{4}} \frac{4!}{(1/a_{0} + 1/2a_{0})^{5}} \approx 1,12 a_{0}$$

Aus allen Termen zusammen folgt

$$M_{i,k}^{z} = e \frac{1}{2\pi} (1,12 a_{0}) \frac{2}{3} 2 \pi = 0,75 \cdot e a_{0}.$$

Aufgabe 2: (5 Punkte)
Bei einer festen Wellenlänge ist die Leistung proportional der Zahl der detektierten Photonen. Das Zerfallsgesetz lautet

$$\frac{N}{N_{0}} = e^{-t/\tau} = e^{-s/(v \tau)}$$

im letzten Schritt wurde $t = s/v$ gesetzt. Daraus folgt:

$$ln \left( \frac{N}{N_{0}} \right) = -\frac{s}{v \tau}$$

oder

$$\tau = \frac{2}{v \; ln(N_{0}/N} = \frac{0,0015}{1000 \; ln(3,32)} \; s = 1,25 \cdot 10^{-6} \; s$$

Aufgabe 3: (5 Punkte)
Die Dopplerverbreiterung ist

$$\Delta \nu_{D} \approx \nu \frac{v}{c}$$

Hierbei haben wir einen Vorfaktor von $1,4$ vernachlässigt. Daraus folgt:

$$\frac{\Delta \lambda_{D}}{\lambda} = \frac{\Delta \nu_{D}}{\nu} = \frac{v}{c}$$

Die natürliche Linienbreite bekommen wir aus der Unschärferelation $h \Delta \nu \approx \hbar/\tau$ zu

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{\hbar \lambda}{\tau h c} = \frac{\lambda}{2 \pi \tau c}$$

Das Verhältnis ist

$$\frac{\Delta \lambda_{D}}{\Delta \lambda} = \frac{2 \pi v \tau }{\lambda} = 714.$$

Aufgabe 4: (5 Punkte)
Wir vernachlässigen die Feinstruktur und erhalten zunächst die Energie der $K$- Schale aus der $K$- Absorptionslinie:

$$E_{K} = - \frac{hc}{\lambda_{K}} = - \frac{1240 \; e V \; nm}{0,2263 \; nm} = - 5479 \; eV.$$

Von der Energie der $K$- Schale ausgehend können wir mit der $K_{\beta}$- Linie die Energie der $M$- Schale berechnen:

$$E_{M} = E_{K} + \frac{hc}{\lambda_{K_{\beta}}} = -5479 \; eV + 5439 \; eV = - 40 \; eV.$$

Die $L_{\alpha}$- Linie entspricht einem Übergang von der $M$ auf die $L$- Schale. Daher

$$E_{L} = E_{M} - \frac{hc}{\lambda_{L_{\alpha}}} = -40 \; eV - 479 \; eV = - 519 \; eV.$$