Statistik   








Ein Tutorial zur Statistik und Simulation. Wir beginnen mit den allgemeinen Grundlagen, fügen dann einen Steilkurs in die Mathematik der komplexen Funktionen und Laplace- Transformationen ein, um dann im dritten Abschnitt die allgemeine Theorie von zufälligen Veränderlichen behandeln zu können. Im letzten Kapitel werden dann Algorithmen zur Simulation von zufälligen Veränderlichen entwickelt. Das Tutorial richtet sich daher hauptsächlich an den wissenschaftlichen Programmierer oder solche, die es werden wollen. (Autor: Harm Fesefeldt)


Wir prüfen die Annahme der Gleichverteilung des Zufallszahlen- Generators der Java Sprache in diesem Applet. Wir haben hier einen Spielwürfel programmiert. Durch Ziehen mit der Maus kann man den Würfel rotieren, durch einmaliges Doppelklicken irgendwo in das Appletfenster wird eine Zufallsrotation ausgeführt. Mit Hilfe zweier Zoom- Buttons kann der Würfel verkleinert oder vergrößert werden. Die Ergebisse des Würfelns können in einem Histogramm gesammelt werden. Dazu müssen Sie den Knopf Show Plot anklicken und dafür sorgen, daß alle Fenster gleichzeitig auf Ihrem Bildschirm sichtbar sind. (Kapitel 1.1, Autor: HarfeSoft 2004)

In Diesem Applet wird die Summe der Augenzahlen zweier Würfel gezählt. Bei welchem Wert erwarten Sie das Maximum der Verteilung ? (Kapitel 1.1, Autor: HarfeSoft).

Dieses Würfelspiel besteht aus 3 gleichen Würfeln. Sie dürfen bis zu dreimal würfeln. Sie können nach jedem Wurf einen Würfel beiseite legen oder aber auch in das Spiel zurückbringen. Gezählt wird am Ende die Summe der Augenzahlen der drei Würfel. Sie deaktivieren den Würfel, indem Sie ein wenig mit der Maus an dem Würfel ziehen, bis er in Graustufen dargestellt wird. Mit dem Reset-Button können Sie alle Würfel wieder in das Spiel zurückbringen. Wenn alle Würfel deaktiviert sind, spätestens aber nach dem dritten Wurf, wird das Ergebnis in den Plot eingetragen und die nächtse Spielrunde beginnt. Entwickeln Sie eine Strategie, um eine möglichst hohe Punktzahl zu erreichen. (Kapitel 1.1, Autor: HarfeSoft).

Hier können Sie Ihre Chancen im Lotteriespiel prüfen. Zunächst müssen Sie 6 aus 49 Zahlen ankreuzen. Dazu drücken Sie den Button Schein und füllen den Lottoschein aus. Anschliessend drücken Sie auf Start. Bei jedem Spiel setzen Sie 1 Euro. Einsatz, Gewinn und Differenz aus Gewinn und Einsatz wird im rechten Fenster oben links angezeigt. Ausserdem wird der effektive Gewinn als fortlaufende Kurve dargestellt. Solange die Kurve rot ist, ist Ihr Einsatz höher als der Gewinn, erst bei blauer Kurve ist Ihr effektiver Gewinn positiv. Die Gewinnquoten der einzelnen Klassen werden auf der rechten Seite des Fensters angezeigt und können mit den Schiebern ganz rechts im Applet verändert werden. Und hier liegt ja bekanntlich das Geheimnis des realen Lottospiels. Die 6 Zahlen werden mit Sicherheit zufällig gewürfelt, die Gewinnquoten sind allerdings nicht zufällig. Sie richten sich danach, wieviele andere Spieler die Gewinnzahlen richtig vorhergesagt haben. Sie haben also keinen Einfluss auf die Gewinnzahlen, aber Einfluss auf die Gewinnquoten. Beobachten Sie selbst, wie Ihr Konto nach einigen Jahren aussieht. (Kapitel 1.2, Autor: HarfeSoft 2004)


Hier haben wir zwei digitale Schaltungen realisiert, die allerdings die gleiche Funktionalität haben. In diesem Applet können Sie beliebige Schaltungen mit den Schaltelementen des Menus auf der linken Seite entwickeln. Ziehen Sie dazu einfach mit der Maus das Element vom Menu in das Appletfenster hinein. Umgekehrt können Sie ein Element aus der Schaltung entfernen, wenn es wieder in das Menu zurückgezogen wird. Alternativ können Sie auch das Element anklicken und dann mit der Schere entfernen. Die Verbindung zwischen zwei Elementen kann durch Anklicken der gelben Lötstellen entfernt werden. Im oberen Menu ist ausser der Schere noch eine Diskette zum Abspeichern der Schaltung, sowie ein Ordner zum Laden einer Schaltung. Mit dem leeren Blatt ganz links können Sie das Appletfenster löschen. (Autoren: Kazuhiko Arase, Harm Fesefeldt) (Kapitel 1.3)


Die Aufgabe in diesem Applet ist, eine relativ komplizierte Schaltung durch ein einziges Schaltelement zu ersetzen. Erweitern Sie das Applet und bauen Sie im unteren Teil des Fensters Ihre Lösung ein. (Autoren: Kazuhiko Arase, Harm Fesefeldt) (Kapitel 1.3)


Die Schaltung in diesem Applet ist nur nur mit NAND- Gliedern aufgebaut. Ändern Sie die Schaltung so, daß nur NOT-, AND- und OR- Elemente benutzt werden. Wie lautet die Funktionsgleichung, ausgedrückt in Mintermen ? (Autoren: Kazuhiko Arase, Harm Fesefeldt) (Kapitel 1.3)


In diesem Applet haben wir ein Spiel programmiert, in dem Ihre Kenntnisse über Wahrscheinlichkeiten abgefragt werden. 20 Lose sind im oberen Behälter als Kugeln dargestellt, und zwar 10 rote und 10 blaue. Bei jeder Farbe gibt es 2 Gewinne. Sie können die Farbe der Kugeln erkennen, nicht aber die Eigenschaft ''Niete'' oder ''Gewinn''. Beim Ziehen fällt eine Kugel nach unten aus dem Behälter heraus. Nach jedem Zug können Sie verschiedene Fragen über die Wahrscheinlichkeiten beim nächsten Zug beantworten. Das Applet sagt Ihnen, ob Ihre Antwort richtig oder falsch war. (Kapitel 1.4, Autor: Mira Schneider 2004)


Hier haben wir unser Würfelspiel dahingehend erweitert, dass jeder Spieler bis zu dreimal würfeln darf. Sobald ein Würfel die Augenzahl 1 zeigt, darf dieser Würfel beiseite gelegt werden. Ziel des Spieles ist es, möglichst viele Einsen zu würfeln. (Kapitel 1.4, Autor: HarfeSoft 2004)


In diesem Applet haben wir eine Simulation der Vielfachstreuung programmiert. Beim Laden des Applets wird zunächst die Bahn des Teilchens gezeigt. Im rechten Auswahlfeld kann man sich sich die simulierten Grössen in zweidimensionalen Plots ansehen. Als Erweiterung haben wir auch noch die Möglichkeit, die Korrelationen für die Ablenkwinkel und Versätze bei zwei Orten der Teichenbahn zu untersuchen. (Kapitel 1.5, Autor: HarfeSoft 2004)


Ein Applet über die Simulation zufälliger Prozesse. Öffnen Sie hierzu das Auswahlmenu Process und wählen Sie einen aus. Weiterhin öffnen Sie das Fenster View. Es erscheint ein Bildschirm, auf dem der zeitliche Ablauf dieses Prozesses dargestellt wird. In dem Auswahlfenster Plot haben Sie die Möglichkeit, zu 4 verschieden Zeiten Time1, Time2, Time3 und Time4 sich die Verteilung der Grössen anzeigen zu lassen. Diese Zeiten sind auf dem Bildschirm als rote Linien dargestellt. (Kapitel 1.6, Autor: HarfeSoft 2005)


Dieses Applet dient nicht nur zum Spielen. Dargestellt ist ein Kartenspiel mit 52 Karten. Ein Versuch besteht aus 100 Ziehungen einer zufälligen Karte. Die Karte wird nach der Ziehung wieder in den Kartenstapel zurückgelegt. Im Auswahlmenu Choose können Sie auswählen, welche Spielkarten als Kopie auf der rechten Seite des Fensters abgelegt werden sollen. Je nach Ihrer Wahl erhalten Sie eine Poisson-, eine Binominal-, oder eine Normalverteilung Die Geschwindigkeit der Animation können Sie im Menu Speed steuern. (Kapitel 1.7, Autor: Mira Schneider 2005)


In diesem Applet zeigen wir Ihnen einen digitalen Halbaddierer. (Kapitel 1.8)


Einen 1-bit Volladdierer als Zusammenschaltung zweier Halbaddierer.(Kapitel 1.8)


In diesem Applet finden Sie eine Schaltung für einen 2-bit Volladdierer. Ihre Aufgabe ist es, die Schaltung zu einem 3-bit Volladdierer zu erweitern. Der freie Platz im oberen Teil des Fensters sollte dafür ausreichen.(Kapitel 1.8)


In jedem Applet der Statistik werden Pseudozufallszahlen benutzt. Hier prüfen wie diese Generaoren. Zuerst müssen Sie einen der bereits vorprogrammierten Generatoren aufrufen. Wählen Sie dazu im Menu Generatoren zunächst den Generator JavaRandom auf. Dieses ist der Standard- Generator der Java Programmiersprache. Den Source Code können Sie mit dem Menu- Button Source einsehen. Es wird ein internes Fenster mit dem Listing eingeblendet. Danach wählen Sie im Menu Plots die für Sie interessanten Histogramme auf. Das Histogramm GleichVert zeigt die Gesamtverteilung, die anderen Verteilungen und auch die weiteren Generatoren werden ausführlich im Text diskutiert. (Kapitel 1.9, Autor: Mira Schneider 2005)


Nur wenige integrale Verteilungsfunktionen können analytisch dargestellt werden. Man muss numerisch integrieren. In diesem Applet wird die integrale Verteilung von 5 verschiedenen Verteilungsfunktionen durch eine Simulation bestimmt. Wählen Sie im Menu Generatoren zunächst eine Verteilungsfunktion aus, im Menu Plots haben Sie die Wahl, sich die Verteilungsfunktion und/oder die integrale Verteilungsfunktion anzuschauen. Beim Anklicken des Buttons Source wird ein Fenster mit dem Sourcecode des Generators geöffnet. Start startet die Simulation, entsprechend wird bei Stop die Simulation beendet. (Kapitel 3.1, Autor: HarfeSoft 2006).


Bei vielen Algorithmen der Simulation benötigt man geordnete Statistiken. Hierzu erzeugt man aus einer Verteilung mehrere Zufallszahlen, sortiert diese in aufsteigender Reihenfolge und fragt nach der Verteilungsfunktion der Zahlen an einem bestimmten Platz dieser Sortierung. Die analytische Berechnung kann ausserordentlich kompliziert werden. In diesem Applet bestimmen wir einige spezielle Verteilungen. (Kapitel 3.1, Autor: HarfeSoft 2006).


Die Faltung zweier Verteilungsfunktion gehört zum Handwerkszeug bei jeder statistischen Analyse. Eine zufällige Veränderliche ist im Experiment und in der Natur grundsätzlich mit einem Messfehler behaftet, meistens mit einem normal verteilten Messfehler. Diese Faltung zweier Verteilungen studieren wir in diesem Applet. Der 1.Generator berschreibt die eigentliche Verteilung der zufälligen Veränderlichen, der 2.Generator die Verteilung des Messfehlers. Im Menu Plots können Sie entscheiden, welche Verteilungen auf dem Bildschirm angezeigt werden sollen. Ansonsten ist die Bedienung des Applets exakt dieselbe wie die der vorherigen Applets. (Kapitel 3.2, Autor: HarfeSoft 2006).


Fast alle Verteilungsfunktionen hängen von Parametern ab. Wenn man also eine Verteilung experimentell bestimmt, muss man durch eine Anpassung die unbekannten Parameter bestimmen. Ausserdem kann die Verteilung noch durch Messfehler verzerrt oder verschmiert sein. Diese Bestimmung von Parametern können Sie in diesem Applet studieren. Sie wählen zunächst einen Generator mit bestimmten Parametern aus. Diese Parameter können in einem interaktiven Dialog verändert werden. Danach geben Sie noch eine Verteilung für den Messfehler an (2.Verteilung). Im Menu Plots können Sie entscheiden, welche Verteilungen auf dem Bildschirm angezeigt werden sollen. Für die Bestimmung der Parameter haben Sie allerdings nur die Wahl zwischen 3 Verteilungen, der Normalverteilung, der Exponentialverteilung und der Poissonverteilung. Im Menu FitMethode können Sie einen von 3 Algorithmen zur Anpassung von Parametern auswählen. Im Fenster FitResults werden die einzelnen Iterationsschritte der Anpassung angezeigt. Bei Start wird die Verteilung einschliesslich der Faltung mit dem Messfehler erzeugt, bei Stop wird die Simualtion beendet und der Fit ausgeführt. (Kapitel 3.5, Autor: HarfeSoft 2006).


Ein allgemeines Verfahren zur Simulation zufälliger Veränderlicher ist das Verwerfungsverfahren von Neumann. Dieses Verfahren wird in diesem Applet an zwei relativ komplizierten Verteilungsfunktionen demonstriert. (Kapitel 4.1, Autor: HarfeSoft 2006).


Dieses und die nächsten 3 Applets beschäftigen sich mit den verschiedenen Algorithmen zur Simulation einer Veränderlichen. Im vorligenden Applet beginnen wir mit der Normalverteilung und der Exponentialverteilung. Die Bedienung ist dieselbe wie in den vorherigen Applets. Im Menu Plots kann man sich die simulierte Verteilungsfunktion, die analytische Funktion und das Verhätnis beider Funktionen anzeigen lassen. Im Idealfall sollte dieses Verhältnis natürlich konstant sein. Der Plot RandomCalls gibt die Anzahl der Aufrufe des Zufallszahlen- Generators an und ist ein Mass für die Effizienz des Verfahrens. (Kapitel 4.2, Autor: HarfeSoft 2006).


Das gleiche Applet noch einmal, jetzt aber für die Gammaverteilung, Chisqr- Verteilung und weitere verwandte Verteilungen. (Kapitel 4.2, Autor: HarfeSoft 2006).


Das gleiche Applet noch einmal, jetzt aber für die Betaverteilung und weiterer Verteilungen. (Kapitel 4.3, Autor: HarfeSoft 2006).


Zum Schluss behandeln wir einige diskrete Veränderliche. Der erste Algorithmus ist immer das sogenannte Wortmodell, bei dem die Definition der Veräderlichen exakt in einen Sourcecode übertragen wurde. Der zweite Algorithmus ist immer aus der inversen Transformationsmethode abgeleitet, die restlichen Algorithmen sind spezielle Verfahren. (Kapitel 4.4, Autor: HarfeSoft 2006).


Weitere ältere Applets zur Statistik und Datenanalyse:

Jeder Kurs über Statistik fängt mit dem Würfel an. Hier ein Applet über Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln (Autor: Titus Oentario)


Ein sehr schönes Plotprogramm zum Einbau in Java Applets oder auch zur separaten statistischen Analyse von Daten.


Fitten von Funktionen an Messwerte, ein Problem der täglichen Arbeit eines Experimentalphysikers (Autor: A. P. Dagher, Erweiterung: Harfesoft).


Demonstrationen der Simulation von ca. 30 Wahrscheinlichkeitsdichten, wie Normalverteilung, Gamma- Verteilung, Beta- Verteilungen, Poisson- Verteilungen u.a. Bei vielen Funktionen können verschiedene Algorithmen ausprobiert werden. Der Source Code der Generatoren kann auf Knopfdruck in das Applet eingeblendet werden (Autor: HarfeSoft).


Wer kann sich schon unter einer zweidimensionalen Funktion etwas vorstellen. Dieses Applet wird Ihnen mit Sicherheit helfen (Autor: Yanto Suryono).


In fast jedem Programm muss mal irdendwas sortiert werden. In diesem Applet lernen Sie die Standardalgorithmen zum Sortieren eines Arrays. (Autor: William Braynen)


Drei verschiedene Sortieralgorithmen im Vergleich. Beurteilen Sie selbst, welcher der schnellste ist (Autor: James Gosling).


Hier erfahren Sie alles, was Sie schon immer mal über Suchalgorithmen erfahren wollten. Zwei Applets, eines über lineare, das andere über binäre Algorithmen. (Autor: Michael Epstein)





Classical Midi:
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Java-Applets:
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