Laplace- und Fourier- Transformation

Klassifizierung
Durch eine Funktion $f(z)$ hatten wir jeder Zahl $z$ eine neue Zahl $w$ zugeordnet, nämlich $w=f(z)$. Dieses kann man verallgemeinern zum Begriff der Funktionaltransformation. Gegeben sei eine bestimmte Menge von Funktionen, z.B. die Menge der stetigen Funktionen oder die Menge der trigonometrischen Funktionen. Bei einer Funktionaltransformation wird nun jeder Funktion $f(z)$ aus der Originalmenge eine Funktion $F(p)$ aus der Bildmenge zugeordnet. Die wichtigsten Transformationen sind die Integraltransformationen

$$F(p) = \int_{z_{1}}^{z_{2}} dz K(z,p) f(z).$$ (1)

$K(z,p)$ nennt man den Kern der Transformation. Häufig benutzte Transformationen sind

$$K(z,p) = e^{-pz} \; \; \lbrace \begin{array}{ll} p \; \; rei... ...ansf. \\ p \; \; komplex & \; \; Laplace-Transf. \end{array}$$

$$K(z,p) = \frac{1}{z-p} \; \; \lbrace \begin{array}{ll} p \; ... ...sf. \\ p \; \; komplex: & \; \; Stieltjes-Transf. \end{array}$$

Eine weitere Klassifikation kann noch durch die Wahl der Integrationsgrenzen vorgenommen werden.

Aus der Integraldefinition kann man eine weitere Klasse von Transformationen herleiten, nämlich die diskreten Transformationen. Ein Beispiel ist

$$F(p) = \sum_{\nu} K(z_{\nu},p) f(z_{\nu}) \Delta z_{\nu} .$$

Wichtig ist hierbei, daß die Funktion $f(z)$ nur an den diskreten Punkten $z_{\nu}$ bekannt oder gemessen zu sein braucht. Hat die Zahlenfolge $z_{\nu}$ die equidistanten Werte $z_{\nu} = \nu z_{0}$, so kann man den dann für alle $\nu$ konstanten Faktor $\Delta z_{\nu}$ weglassen und erhält

$$F(p) = \sum_{\nu} K(\nu z_{0},p) f(\nu z_{0}).$$ (2)

Eine der wichtigsten Transformationen dieser Art hat den Kern

$$K(\nu z_{0},p) = \frac{1}{p^{\nu}}$$

und heißt $Z$- Transformation ($\nu = 0$ bis $\infty$) oder Laurent- Transformation ($\nu = -\infty$ bis $\infty$). Es sind dieses besonders die Laplace- Transformation, die Fourier- Transformation und diese beiden letzteren diskreten Transformationen, mit denen wir uns im folgenden beschäftigen werden.

Wir schreiben die Laplace- Transformation im folgenden in der Form

$$F(p) = \int_{0}^{\infty} dt f(t) e^{-pt}.$$ (3)

Hierbei ist also, wie oben schon erwähnt, $p$ eine komplexe Zahl, die wir immer mit

$$p = \sigma + i \omega$$ (4)

in Real- und Imaginärteil zerlegen werden, und $t$ eine reelle Zahl, die im allgemeinen, aber nicht immer, die Bedeutung der Zeit hat. Man spricht von der einseitigen Laplace- Transformation, wenn, wie in Formel (3), die untere Integrationsgrenze gleich 0 gesetzt wird, dagegen von der zweiseitigen Laplace- Transformation, wenn

$$F(p) = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) e^{-pt}.$$ (5)

In diesem Kapitel werden wir uns ausschließlich mit der einseitigen Laplace- Transformation beschäftigen. In späteren Kapiteln werden wir aber auch die zweiseitige Laplace- Transformation benötigen. Die entsprechenden Formeln müssen dann teilweise geringfügig geändert werden.

Statt der Integralformel schreibt man zur Abkürzung

$$L \{ f(t) \} = F(p),$$ (6)

was heißen soll, daß die Laplace- Transformierte der Funktion $f(t)$ die Funktion $F(p)$ ist. Oder anders ausgedrückt, durch Anwendung der Operation

$$L = \int_{0}^{\infty} dt e^{-pt}$$

geht die Funktion $f(t)$ über in $F(p)$:

$$F(p) = L \{ f(t) \} = \int_{0}^{\infty} dt f(t) e^{-pt}.$$

Wir bezeichnen immer die Originalfunktion mit kleinen und die Bildfunktion mit großen Buchstaben. Die inverse Transformation drückt man durch die Bezeichnung

$$L^{-1} \{ F(p) \} = f(t)$$ (7)

aus. Dieses bedeutet, daß $f(t)$ eine Funktion ist, deren Laplace- Transformierte gleich $F(p)$ ist. Während die Laplace- Transformation selbst im allgemeinen rechentechnisch einfach ist, bereitet die Rücktransformation häufig Schwierigkeiten.

Beispiele. Einige einfache Beispiele mögen diese Zuordnung veranschaulichen. Sei $f(t)=1$, dann ist

$$F(p) = \int_{0}^{\infty} dt e^{-pt} = \frac{1}{p}.$$

Wir schreiben also:

$$L \{ 1 \} = \frac{1}{p},$$

$$L^{-1} \{ \frac{1}{p} \} = 1.$$

Für $f(t) = e^{p_{0}t}$ erhalten wir entsprechend

$$F(p) = \int_{0}^{\infty} dt e^{-(p-p_{0}) t}.$$

Bei diesem Integral muß man etwas Obacht geben. Wir zerlegen $p$ und $p_{0}$ in Real- und Imaginärteil,

$$F(p) = \int_{0}^{\infty} dt e^{-(\sigma - \sigma_{0})t} e^{-i(\omega - \omega_{0}) t}.$$

Dieses Integral ist dann und nur dann endlich und gleich

$$F(p) = \frac{1}{p-p_{0}} ,$$

wenn $\sigma > \sigma_{0}$. Wir erhalten also die Zuordnung

$$\begin{array}{rcl} L \{ e^{p_{0}t} \} &=& \frac{1}{p-p_{0}} \... ...d{array}\rbrace \; \; f''ur \; \; Re \{p \} > Re \{ p_{0} \} .$$

Allgemeiner kann man nachrechnen, daß

$$\begin{array}{rcl} L \{ \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-p_{0}t} \}... ...{array} \rbrace \; \; f''ur \; \; Re \{ p \} > Re \{ p_{0} \}.$$ (8)

Die beiden ersten Beispiele sind als Spezialfälle in diesem letzteren Beispiel enthalten.

Transformationsregeln. Die folgenden Regeln lassen sich aus der Integraldefinition der Laplace- Transformation herleiten:
Linearität:

$$L \{ k f \} = k L \{ f \}$$ (9)

$$L \{ f_{1} + f_{2} \} = L \{ f_{1} \} + L \{ f_{2} \}$$ (10)

Differentiation und Integral:

$$L \{ \int_{0}^{t} d\tau f(\tau) \} = \frac{1}{p} L \{ f \}$$ (11)

$$L \{ f'(t) \} = p L \{ f \} - f(0)$$ (12)

Verschiebungssatz:

$$L \{ f(t-t_{0}) \} = e^{-p t_{0}} L \{ f(t) \} \; \; f''ur \; \; t_{0} \geq 0$$ (13)

Faltungssatz:

$$L \{ \int_{0}^{t} d\tau g(\tau) h(t-\tau) \} = L \{ g(t) \} L \{ h(t) \}.$$ (14)

Besonders die Regeln für die Integrale und Ableitungen muß man sich auf der Zunge zergehen lassen. Hier wird die komplizierte Operation eines Integrals oder einer Ableitung im Originalbereich ersetzt durch einfache algebraische Operationen im Bildbereich. Die Beweise für diese Regeln überlassen wir dem Leser (Stichwort: partielle Integration).

Beispiel. Wir wollen die Transformationsregeln an einigen Beispielen erläutern. Gegeben sei die Zeitfunktion (siehe Abb.1)

$$f(t) = \lbrace \begin{array}{lll} 0 & \; f''ur \; & t < 0 \\... ... \leq t < t_{0} \\ H & \; f''ur \; & t \geq t_{0}. \end{array}$$

Abbildung 1: Einfache Zeitfunktion.

Wir zerlegen die Funktion in zwei Teile (siehe rechte Seite von Abb.1):

$$f_{1}(t) = \lbrace \begin{array}{lll} 0 & \; f''ur \; & t \leq 0 \\ \frac{H}{t_{0}} t & \; f''ur \; & t \geq 0 \end{array}$$

$$f_{2}(t) = \lbrace \begin{array}{lll} 0 & \; f''ur \; & t \l... ...} \\ - f_{1}(t-t_{0}) & \; f''ur \; & t \geq t_{0} \end{array}$$

Dann ist

$$f(t) = f_{1}(t) + f_{2}(t)$$

und

$$L \{ f \} = L \{ f_{1} \} + L \{ f_{2} \} .$$

Dabei ist gemäß Formel (8) ($p_{0}=0, n=2$):

$$L \{ f_{1}(t) \} = \frac{H}{t_{0}} L \{ t \} = \frac{H}{t_{0}} \frac{1}{p^{2}}.$$

Mit Hilfe des Verschiebungssatzes erhalten wir:

$$L \{ f_{2}(t) \} = - L \{ f_{1}(t-t_{0}) \} = - e^{-p t_{0}}... ...f_{1}(t) \} = - \frac{H}{t_{0}} \frac{1}{p^{2}} e^{-p t_{0}} .$$

Das Endergebnis lautet:

$$L \{ f(t) \} = \frac{H}{t_{0}} \frac{1}{p^{2}} (1 - e^{-p t_{0}} ).$$

Beispiel. Die Schaltfunktion kann dargestellt werden als

$$f(t) = H s(t-t_{0}) ,$$

wobei $s(t)$ die Sprungfunktion

$$s(t) = \lbrace \begin{array}{lll} 0 & \; \; f''ur \; \; & t < 0 \\ 1 & \; \; f''ur \; \; & t \geq 0. \end{array}$$

ist. Die zu $s(t)$ gehörige Bildfunktion ist

$$L \{ s(t) \} = \frac{1}{p},$$

sodaß mit Hilfe des Verschiebungssatzes folgt:

$$L \{ f(t) \} = \frac{H}{p} e^{-p t_{0}}.$$

Beispiel. Gegeben sei ein Rechteckimpuls (siehe Abb.2):

$$\delta_{n}(t) = \lbrace \begin{array}{lll} 0 & \; f''ur \; &... ...rac{T}{n} \\ 0 & \; f''ur \; & t \geq \frac{T}{n}, \end{array}$$

wobei $T$ eine feste Zeit und $n$ irgendeine positive Zahl ist.

Abbildung 2: Zerlegung des Rechteckimpulses in zwei Teilfunktionen.

$\delta_{n}(t)$ läßt sich als Summe zweier Schaltfunktionen darstellen:

$$\delta_{n}(t) = \frac{n}{T} [ s(t) - s(t - \frac{T}{n}) ].$$

Die Laplace- Transformierte lautet:

$$L \{ \delta_{n}(t) \} = \frac{n}{pT} \left[ 1 - e^{-pT/n} \right] .$$

Wir entwickeln den Ausdruck in der eckigen Klammer,

$$L \{ \delta_{n} \} = \frac{n}{pT} \frac{pT}{n} \left[ 1 - \frac{1}{2!} \frac{pT}{n} + \cdot \cdot \cdot \right].$$

Für große $n$ können wir alle weiteren Glieder vernachlässigen. Im Grenzfall $n \to \infty$ folgt:

$$\lim_{n \to \infty} L \{ \delta_{n} \} = 1.$$

$\lim_{n \to \infty} \delta_{n}(t)$ ist aber nichts anderes als die Diracsche $\delta$- Funktion, sodaß wir schreiben können

$$L \{ \delta (t) \} = 1.$$

In einer etwas allgemeineren Form gilt dann:

$$L \{ H \delta (t - t_{0}) \} = H e^{-p t_{0}}.$$

Inverse Transformation
Während die Laplace- Transformation selbst und das Rechnen im Bildbereich recht einfach sind, kann die inverse Transformation erhebliche Schwierigkeiten bereiten. Zur Lösung wird man zunächst versuchen, durch ,,raten'' oder ,,probieren'' die zu $F(p)$ gehörige Originalfunktion $f(t)$ zu finden. Besonders hilfreich sind hierbei die in der Literatur vorhandenen Korrespondenztabellen. Eine andere Möglichkeit ist die Rücktransformation mit Hilfe des Faltungssatzes:

$$L^{-1} \{ F_{1}(p) F_{2}(p) \} = \int_{0}^{t} d\tau f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau).$$ (15)

Wenn es also möglich ist, die Bildfunktion $F(p)$ so in zwei Faktoren $F_{1}(p)$ und $F_{2}(p)$ zu zerlegen, daß diese einzeln leicht rücktransformierbar sind, erhält man eine Integraldarstellung der Originalfunktion

$$f(t) = \int_{0}^{t} d\tau f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau).$$ (16)

Wenn alle diese Methoden versagen, muß man zum folgenden immer anwendbaren Algorithmus übergehen.

Umkehrformel. Die Funktion $F(p)$ habe singuläre Stellen in endlich vielen Punkten $p_{1}, p_{2}, ...., p_{n}$. $F(p)$ sei insbesondere regulär im Punkte $p = \infty$. Für einen Punkt $p_{0}$ außerhalb des geschlossenen Weges $K$ um die singulären Punkte gilt dann nach Formel (53) des vorherigen Kapitels:

$$F(p_{0}) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{K} dp \frac{F(p)}{p-p_{0}}.$$ (17)

$(p-p_{0})^{-1}$ ist nun aber eine Bildfunktion, nämlich

$$\frac{1}{p-p_{0}} = \int_{0}^{\infty} dt e^{-pt} e^{p_{0}t} = \int_{0}^{\infty} dt e^{pt} e^{-p_{0}t}.$$

Die Vertauschung der Vorzeichen in den Exponentialausdrücken ist nicht unbedingt einleuchtend, soll hier aber ohne Beweis übergangen werden. Wir setzen dieses in (17) ein und erhalten nach Vertauschen der Integrationsreihenfolge (ungeachtet dessen, ob diese Vertauschung erlaubt ist oder nicht, siehe späteren Kommentar):

$$F(p_{0}) = \int_{0}^{\infty} dt e^{-p_{0}t} \left[ \frac{1}{2 \pi i} \oint_{K} dp F(p) e^{pt} \right] .$$

Ein Vergleich mit der Laplace- Transformation zeigt, daß

$$f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{K} dp F(p) e^{pt}$$

sein muß. Mit Hilfe der Residuenformel des vorherigen Kapitels folgt:

$$f(t) = \sum_{\nu=1}^{n} Res_{p=p_{\nu}} \{ F(p) e^{pt} \}.$$ (18)

Das ganze Problem der Rücktransformation reduziert sich mit dieser Formel darauf, die singulären Stellen des Ausdrucks $F(p) e^{pt}$ zu berechnen und zu summieren. Die Umkehrformel wurde abgeleitet, ohne auf einige mathematisch notwendige Bedingungen einzugehen. Das so erhaltene Ergebnis kann daher auch falsch sein. Man muß also immer noch einmal prüfen, ob die berechnete Funktion $f(t)$ wirklich die Originalfunktion zu $F(p)$ ist. Für eine besonders häufig vorkommende Funktionenklasse, nämlich für die rationalen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, funktioniert diese Rücktransformation aber immer und liefert auch die richtige Originalfunktion.

Beispiel. Zur Demonstrartion diskutieren wir zwei einfache Anwendungen aus der Elektrotechnik. Gegeben sei der Schaltkreis in Abbildung 3.

Abbildung 3: Elektrisches Schaltkreis mit Widerstand, Spule und Kondensator.

Aus den Gesetzen der Elektrotechnik entnehmen wir die folgende Beziehung zwischen Strom $i(t)$ und Spannung $u(t)$:

$$R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} d\tau i(\tau) = u(t).$$

Anwendung der Laplace- Transformation liefert:

$$I(p) [ R + pL + \frac{1}{pC} ] = U(p).$$

Hierbei wurde

$$I(p) = L \{ i(t) \} , \; \; \; \; \; U(p) = L \{ u(t) \}$$

gesetzt. Außerdem ist $i(0)=0$, sofern $u(t)=0$ für $t \leq 0$ gesetzt wird. Die Lösung im Bildraum ist

$$I(p) = Y(p) U(p)$$

mit

$$Y(p) = \frac{1}{Z(p)} = \frac{p}{L(p^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{CL})} = \frac{p}{L(p-p_{1})(p-p_{2})}$$

und

$$p_{1,2} = - \frac{R}{2L} \pm i \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^{2}}.$$

Die Transformation und Lösung im Bildraum ist also außerordentlich einfach. Das Problem ist die Rücktransformation. Mit Hilfe des Faltungssatzes ergibt sich

$$i(t) = L^{-1} \{ I(p) \} = L^{-1} \{ Y(p) U(p) \} = \int_{0}^{t} d\tau y(\tau) u(t-\tau).$$

Da $Y(p)$ eine rationale Funktion ist, die im Unendlichen verschwindet, kann $y(t)$ mit Hilfe der Residuenformel zurücktransformiert werden,

$$y(t) = \sum_{\nu=1}^{2} Res_{p=p_{\nu}} \{ Y(p) e^{pt} \}.$$

Die Residuen in den beiden Polen sind

$$Res_{p=p_{1}} \{ Y(p) e^{pt} \} = \frac{p_{1} e^{p_{1}t}}{L(p_{1}-p_{2})}$$

$$Res_{p=p_{2}} \{ Y(p) e^{pt} \} = \frac{p_{2} e^{p_{2}t}}{L(p_{2}-p_{1})},$$

sodaß wir die allgemeine Lösung schreiben können als

$$i(t) = \frac{1}{L} \int_{0}^{t} d\tau \frac{p_{1} e^{p_{1}\tau} - p_{2} e^{p_{2}\tau}}{p_{1}-p_{2}} u(t-\tau).$$ (19)

Dieses ist ein relles Integral, was man folgendermaßen einsehen kann.

Wenn $p_{1}$ und $p_{2}$ reell sind, ist (19) in jedem Fall reell. Seien $p_{1}$ und $p_{2}$ komplex, so sind $p_{1}$ und $p_{2}$ konjugiert komplex zueinander, also $p_{2} = p_{1}^{\ast}$. Nach den Formeln für komplex konjugierte Zahlen erhalten wir nach einiger Rechnung

$$i(t) = \frac{1}{\omega L} \int_{0}^{t} d\tau e^{\sigma \tau}... ...sigma sin(\omega \tau) + \omega cos(\omega \tau) ] u(t-\tau) ,$$

wobei wir

$$p_{1} = \sigma + i\omega, \; \; \; \; \; p_{2} = \sigma - i\omega$$

gesetzt haben. Wenn $u(t)$ nicht zu kompliziert ist, kann man dieses Integral elementar lösen. Wenn dagegen $u(t)$ einen gewissen Kompliziertheitsgrad übersteigt, muß man numerisch integrieren.

Beispiel. In einem zweiten Beispiel der Elektrotechnik sei der Stromkreis von Abb.4 gegeben.

Abbildung 4: Eine einfache Vierpol- Schaltung.

Gesucht ist die Spannung $u_{2}(t)$ als Funktion der Spannung $u_{1}(t)$. Offensichtlich ist

$$i_{R}(t) = i_{C}(t) + i_{L}(t)$$

$$u_{2}(t) = L \frac{di_{L}(t)}{dt} = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} d\tau i_{C}(\tau)$$

$$u_{1}(t) = R i_{R}(t) + u_{2}(t).$$

Wir eliminieren die Ströme und erhalten folgende Gleichung zwischen $u_{2}(t)$ und $u_{1}(t)$:

$$RC \frac{du_{2}}{dt} + \frac{R}{L} \int_{0}^{t} d\tau u_{2}(\tau) + u_{2}(t) = u_{1}(t).$$

Anwendung der Laplace- Transformation ergibt

$$RC p U_{2}(p) + \frac{R}{pL} U_{2}(p) + U_{2}(p) = U_{1}(p)$$

oder

$$U_{2}(p) = \frac{p U_{1}(p)}{RC(p^{2}+\frac{1}{RC} p + \frac{1}{LC})} = \frac{p U_{1}(p)}{RC(p-p_{1})(p-p_{2})}$$

mit

$$p_{1,2} = - \frac{1}{2CR} \pm i \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{1}{2CR})^{2}} .$$

Alles weitere geht wie im ersten Beispiel. Wir schreiben

$$G(p) = \frac{p}{RC(p-p_{1})(p-p_{2})}$$

und erhalten mit Hilfe des Faltungssatzes

$$u_{2}(t) = \int_{0}^{t} d\tau g(\tau) u_{1}(t-\tau)$$

mit

$$g(\tau) = \sum_{\nu=1}^{2} Res_{p=p_{\nu}} \{ G(p) e^{p\tau} \}.$$

Nach einiger Rechnung folgt das Resultat

$$u_{2}(t) = \frac{1}{CR} \int_{0}^{t} d\tau \frac{p_{1} e^{p_{1}\tau} - p_{2} e^{p_{2}\tau}}{p_{1}-p_{2}} u_{1}(t-\tau).$$

Auch in dieser Formel kann man sich davon überzeugen, daß, obwohl komplexe Zahlen in den Formeln stehen, die Spannung $u_{2}(t)$ eine reelle Funktion ist. Wir erhalten wie im vorigen Beispiel das reelle Integral

$$u_{2}(t) = \frac{1}{\omega CR} \int_{0}^{t} d\tau e^{\sigma ... ...gma sin(\omega \tau) + \omega cos(\omega \tau) ] u_{1}(t-\tau)$$

mit

$$p_{1} = \sigma + i\omega, \; \; \; \; \; p_{2} = \sigma - i\omega.$$

Mehrdimensionale Laplace- Transformation
Für eine Funktion $f(t)$ hatten wir die (einseitige) Laplace- Transformation definiert als

$$L \{ f(t) \} = \int_{0}^{\infty} dt f(t) e^{-pt} .$$

Diese Definition kann man ohne weiteres verallgemeinern für den Fall einer Funktion $f(\vec{t})$ mehrerer Veränderlicher $\vec{t}=(t_{1},t_{2},...,t_{n})$:

$$L \{ f(\vec{t}) \} = \int_{0}^{\infty} d \vec{t} f(\vec{t}) e^{-\vec{p} \vec{t}} ,$$ (20)

mit dem komplexen Vektor $\vec{p} = (p_{1},p_{2},...,p_{n})$. Leider ist die Theorie der komplexen Funktionen mehrerer Veränderlicher um einiges schwieriger zu handhaben als die Theorie der komplexen Funktionen mit nur einer Veränderlichen. Wir können die Theorie der mehrdimensionalen komplexen Funktionen jedoch umgehen, wenn wir die Transformation (20) schreiben in der Form

$$L \{ f(\vec{t}) \} = \int_{0}^{\infty} dt_{1} e^{-p_{1}t_{1}... ...ot \cdot \int_{0}^{\infty} dt_{n} f(\vec{t}) e^{-p_{n}t_{n}}.$$

Definieren wir die Laplace Transformierte bezüglich der Variablen $t_{\nu}$ durch

$$L_{t_{\nu}} \{ f(t_{1},t_{2},...,t_{n}) \} = \int_{0}^{\inft... ...},t_{2},...,t_{n}) e^{-p_{1}t_{1}-p_{2}t_{2}- ...-p_{n}t_{n}},$$ (21)

so kann man schreiben:

$$L \{ f \} = L_{t_{1}} \{ L_{t_{2}} \{ \cdot \cdot \cdot L_{t_{n}} \{ f \} \cdot \cdot \cdot \} \}.$$ (22)

Für jeden einzelnen Transformationsschritt kann der gesamte Formalismus der eindimensionalen Laplace Transformation angewendet werden.

Korrespondenztabellen. Bisher haben wir in unseren Beispielen alle Rücktransformationen mit Hilfe des Verschiebungssatzes, des Faltungssatzes oder der Residuenformel lösen können. In einer ganzen Reihe von Anwendungen sind diese Verfahren jedoch außerordentlich mühsam und zeitraubend. Man bedient sich daher zweckmäßigerweise der Korrespondenztabellen, in denen ähnlich wie in einer Integraltafel alle nur denkbaren Laplace- Transformationen tabelliert sind. Diese Korrespondenztabellen gehören selbstverständlich auf den Schreibtisch eines jeden Systemanalytikers. Auch wir werden im folgenden häufig von diesen Korrespondenztabellen Gebrauch machen.

Fourier Transformation
Die Integraltransformation

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) e^{-i \omega t},$$ (23)

wobei $\omega$ reell ist, führt auf den Begriff der Fourier Transformation. Die Operator Schreibweise ist

$$F \{ f(t) \} = F(\omega).$$ (24)

Um die Umkehrrelation zu erhalten, multiplizieren wir $F(\omega)$ mit $e^{i \omega t}$ und integrieren über $\omega$. Nach Einsetzen von $F(\omega)$ aus (23) erhalten wir

$$\int_{-\infty}^{\infty} d\omega F(\omega) e^{i \omega t} = \int_{-\infty}^{\infty} d\omega \int_{-\infty}^{\infty} dt' f(t') e^{-i \omega t'} e^{i \omega t}$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} dt' f(t') \int_{-\infty}^{\infty} d\omega e^{i \omega (t-t')}$$

Das rechts stehende Integral ist nun aber gerade die Diracsche $\delta$- Funktion:

$$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d\omega e^{i \omega (t-t')} = \delta (t-t').$$

Daher folgt

$$f(t) = F^{-1} \{ F(\omega) \} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d\omega F(\omega) e^{i \omega t},$$ (25)

Die Bildfunktion der Laplace Transformation ist eine komplexwertige Funktion einer komplexen Veränderlichen. Im Gegensatz dazu ist die Bildfunktion der Fourier Transformation eine komplexwertige Funktion einer reellen Veränderlichen.

Rechenregeln. Die wichtigsten Rechenregeln der Fourier Transformation sind:
Linearität:

$$F \{ k f(t) \} = k F \{ f(t) \}$$ (26)

$$F \{ f_{1} + f_{2} \} = F \{ f_{1} \} + F \{ f_{2} \}.$$ (27)

Ableitung und Integral:

$$F \{ f'(t) \} = (i \omega ) F \{ f(t) \}$$ (28)

$$F \{ \int_{-\infty}^{t} d\tau f(\tau) = \frac{1}{i \omega} F \{ f(t) \}.$$ (29)

Faltungssatz:

$$F \{ \int_{-\infty}^{\infty} d\tau f(t-\tau) g(\tau) \} = F \{ f(t) \} F \{ g(t) \}.$$ (30)

Verschiebungssatz:

$$F \{ f(t-t_{0}) \} = F \{ f(t) \} e^{-i \omega t_{0}}.$$ (31)

Wir bemerken insbesondere das Fehlen des Anfangswertes $f(0)$ in der Regel für die Ableitung. Die Anfangswertbedingung $f(t)=0$ für $t \to \pm \infty$ ist jedoch bereits in der Bedingung für die Existenz des Fourier Integrals enthalten. Das Integral existiert nur, wenn $\vert f(t)\vert \to 0$ für $t \to \pm \infty$. Dieser Sachverhalt führt uns auf den großen Nachteil der Fourier Transformation, nämlich ihre Konvergenzempfindlichkeit. Die (zweiseitige) Laplace Transformation war definiert als (mit $p = \sigma + i \omega$):

$$L \{ f(t) \} = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) e^{-\sigma t} e^{-i \omega t},$$

wogegen in der Fourier Transformation der Dämpfungsterm $e^{-\sigma t}$ fehlt:

$$F \{ f(t) \} = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) e^{-i \omega t}.$$

Bei der Fourier Transformation muß die Existenz des Integrals von der Funktion $f(t)$ allein zuwege gebracht werden, während bei der Laplace Transformation der Faktor $e^{-\sigma t}$ für fast alle Funktionen $f(t)$ die Existenz des Integrals garantiert, sofern nur $\sigma > 0$ bzw $Re \{ p \} > 0$. Die Menge der Funktionen $f(t)$, die eine Fourier Transformierte besitzen, ist gegenüber der Laplace Transformation erheblich eingeschränkt. Wegen des Fehlens einer frei wählbaren Anfangsbedingung ist die Fourier Transformation in der Systemanalyse nur beschränkt einsetzbar. Für Untersuchungen des Einschwingverhaltens ist die Fourier Transformation sogar ungeeignet. Dagegen erweist sie sich häufig der Laplace Transformation überlegen, wenn man den eingeschwungenen Zustand bei periodischer Erregung zu untersuchen hat.

Abtasttheorem
Es sei $f(t)$ eine beliebige Zeitfunktion mit einer Fourier Transformierten

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) e^{-i \omega t}.$$ (32)

Wegen $F^{\ast}(\omega) = F(-\omega)$ ist $\vert F(\omega)\vert$ symmetrisch um $\omega = 0$, d.h.

$$\vert F(\omega)\vert = \vert F(-\omega)\vert .$$ (33)

Man nennt die Funktion $\vert F(\omega)\vert$ das Spektrum der Funktion $f(t)$. Die Funktion $\vert F(\omega)\vert$ muß nun, genau wie die Funktion $f(t)$, für $t \to \pm \infty$ gegen Null konvergieren. Dieses folgt aus der Existenz des Umkehrintegrals. Ab einem gewissen Wert $\omega = \omega_{g}$ ist nun $\vert F(\omega)\vert$ so klein, daß man $\vert F(\omega)\vert = 0$ für $\omega > \omega_{g}$ setzen kann. Wir nennen die zugehörige Zeitfunktion

$$f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\omega_{g}}^{\omega_{g}} d\omega F(\omega) e^{i\omega t}$$ (34)

ein Signal mit bandbegrenztem Spektrum. Die Berechtigung für diese Approximation liegt darin, daß alle in der Natur vorkommenden Signale ein bandbegrenztes Spektrum besitzen. Diese Bemerkung gilt erst recht für alle in experimentellen Anordnungen gemessenen Signale. Formel (34) ist die Definitionsgleichung für die Rücktransformation bei einem bandbegrenzten Spektrum.

Benutzt man (34) als Formel für die Rücktransformation, so kann $F(\omega)$ für $\vert\omega\vert > \vert\omega_{g}\vert$ beliebig fortgesetzt werden, z.B. periodisch mit

$$F(\omega + \omega_{g}) = F(\omega).$$

In diesem Fall kann man $F(\omega)$ durch eine sogenannte Fourier Reihe darstellen,

$$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{-i n \pi \omega / \omega_{g}},$$ (35)

wobei die Koeffizienten $F_{n}$ für die Konvergenz verantwortlich sind, d.h.

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n}^{2} < \infty .$$

Zur Bestimmung der Koeffizienten $F_{n}$ multiplizieren wir (35) mit $e^{i m \pi \omega / \omega_{g}}$ und integrieren von $-\omega_{g}$ bis $+\omega_{g}$:

$$\int_{-\omega_{g}}^{+\omega_{g}} d\omega F(\omega) e^{im\pi\... ...g}}^{+\omega_{g}} d\omega e^{-i(n-m) \pi \omega / \omega_{g}}.$$

Das rechts stehende Integral läßt sich wieder durch die $\delta$- Funktion ausdrücken,

$$\int_{-\omega_{g}}^{+\omega_{g}} d\omega e^{-i(n-m)\pi\omega / \omega_{g}} = 2 \omega_{g} \delta_{nm}.$$

Daher folgt

$$F_{m} = \frac{1}{2 \omega_{g}} \int_{-\omega_{g}}^{+\omega_{g}} d\omega F(\omega) e^{i m \pi \omega / \omega_{g}}.$$ (36)

Ein Vergleich mit (34) zeigt, daß

$$F_{m} = \frac{\pi}{\omega_{g}} f(m \pi / \omega_{g}).$$ (37)

Wir setzen jetzt die Fourier- Reihe (35) mit den Entwicklungskoeffizienten (37) in die Formel (34) für die Rücktransformation ein. Dieses ergibt:

$$f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\omega_{g}}^{+\omega_{g}} d\om... ...{g}) e^{-i n \pi \omega / \omega_{g}} \right] e^{i \omega t} ,$$

oder, sofern wir Summe und Integral vertauschen dürfen,

$$f(t) = \frac{1}{2 \omega_{g}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n\... ...}}^{+\omega_{g}} d\omega e^{i \omega (t-n \pi / \omega_{g})} .$$

Das rechts stehende Integral läßt sich elementar ausrechnen. Setzen wir zur Abkürzung noch $T = \pi / \omega_{g}$, so ergibt sich schließlich die sogenannte Sampling- Reihe.

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \frac{sin(\omega_{g} (t-nT))}{\omega_{g} (t- nT)} .$$ (38)

Diese Formel läßt sich mit folgendem Satz (Abtasttheorem) interpretieren:
Besitzt eine Zeitfunktion $f(t)$ ein bandbegrenztes Spektrum mit der oberen Grenzfrequenz $\omega_{g}$, dann ist $f(t)$ durch die diskreten Tastwerte $f(nT)$ mit $T = \pi / \omega_{g}$ vollständig bestimmt. Die Fourier- Transformierte dieser bandbegrenzten Zeitfunktion ist

$$F(\omega) = F \{ f(t) \} = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \left( e^{-i \omega T} \right)^{n} .$$ (39)

Eine solche Funktionsdarstellung durch diskrete Abtastwerte ist nun aber wesentlich besser sowohl für experimentelle wie für rechentechnische Anwendungen geeignet als eine kontinuierliche Funktion. Insbesondere kann man wegen $\vert f(t)\vert \to 0$ und $\vert F(\omega)\vert \to 0$ für $t,\omega \to \pm \infty$ die Summe durch eine endliche Summe approximieren.

Laurent- und Z- Transformation
Nach dem Vorbild des Abtasttheorems wird die Laurent- Transformation definiert als

$$F(z) = L_{T} \{ f(t) \} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{f(nT)}{z^{n}}.$$ (40)

Falls $f(nT) = 0$ für $n < 0$, so gelangt man zur Z- Transformation

$$F(z) = Z \{ f(t) \} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f(nT)}{z^{n}}.$$ (41)

Die Z- Transformation ist also als Spezialfall in der Laurent- Transformation enthalten. Wir werden daher alle Formeln nur für die Laurent- Transformation herleiten.

Rücktransformation. Zur Rücktransformation erwähnen wir zwei häufig benuzte Methoden. Die erste Methode basiert auf der Laurent- Reihenentwicklung (daher der Name dieser Transformation). Hierzu wird die Bildfunktion $F(z)$ in eine Potenzreihe um $z=0$ entwickelt:

$$F(z) = \sum_{\nu=-\infty}^{\infty} \frac{c_{\nu}}{z^{\nu}}.$$ (42)

Durch Vergleich mit (40) erkennt man sofort, daß

$$c_{\nu} = f(\nu T).$$ (43)

Ist die Bildfunktion insbesondere rational in $z^{-1}$, d.h.

$$F(z) = \frac{a_{0} + a_{1} z^{-1} + a_{2} z^{-2} + .....} {1 + b_{1} z^{-1} + b_{2} z^{-2} + .....} ,$$ (44)

so erhält man die Koeffizienten $c_{\nu} = f(\nu T)$ aus der einfachen Rekursionsrelation

$$c_{0} = a_{0}$$

$$c_{\nu} = a_{\nu} - \sum_{\mu =1}^{\nu} b_{\mu} c_{\nu - \mu}, \; \; \; \; \; \nu = 1,2,.....$$ (45)

Die zweite Methode basiert auf der Integralformel von Cauchy. Wir bilden

$$F(z) z^{k-1} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{f(nT)}{z^{n-k+1}}$$

und berechnen das Kreisintegral um $z=0$:

$$\oint_{K} dz F(z) z^{k-1} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \oint_{K} dz \frac{f(nT)}{z^{n-k+1}}.$$

Das rechts stehende Integral ist aber nur für $n-k+1 = 1$, d.h. für $n=k$, von Null verschieden,

$$\oint_{K} dz \frac{f(nT)}{z^{n-k+1}} = 2 \pi i f(nT) \delta_{nk}.$$

Daher folgt die Residuenformel der Laurent- Rücktransformation:

$$f(kT) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{K} dz F(z) z^{k-1} = \sum_{\nu} Res_{z_{\nu} \in K} \{ F(z) z^{k-1} \} .$$ (46)

Diese Formel ist vollkommen equivalent zur Residuenformel der Laplace Transformation.

Rechenregeln. Ausgehend von den Rechenregeln der Fourier Transformation und mit Hilfe der Relation

$$L_{T} \{ f(t) \} = \frac{1}{T} F \{ f(t) \} \vert _{z=e^{i \omega t}}$$

lassen sich folgende Regeln herleiten:
Linearität:

$$L_{T} \{ k f(t) \} = k L_{T} \{ f(t) \}$$ (47)

$$L_{T} \{ f_{1} + f_{2} \} = L_{T} \{ f_{1} \} + L_{T} \{ f_{2} \}$$ (48)

Ableitung und Integral:

$$L_{T} \{ f'(t) \} = \psi(z) L_{T} \{ f(t) \}$$ (49)

$$L_{T} \{ \int_{-\infty}^{t} d\tau f(\tau) \} = \frac{1}{\psi(z)} L_{T} \{ f(t) \} ,$$ (50)

mit

$$\psi(z) = \frac{1}{T} ln z = \frac{2}{T} \left[ \frac{z-1}{z... ...}{3} \frac{(z-1)^{3}}{(z+1)^{3}} + \cdot \cdot \cdot \right] .$$ (51)

In praktischen Anwendungen kann im allgemeinen

$$\psi(z) \approx \frac{2}{T} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)$$ (52)

gesetzt werden. Die gleichen Relationen gelten natürlich für die Z- Transformation mit $f(nT) = 0$ für $n < 0$.

Wir möchten noch auf die Ähnlichkeit der Rechenregeln der Laplace- und der Laurent- Transformation hinweisen. Man muß nur $p$ durch $\psi(z)$ ersetzen und beachten, daß die Anfangsbedingung $f(t)=0$ für $t < 0$ bei der (einseitigen) Laplace- Transformation durch $f(t)=0$ für $t \to \pm \infty$ bei der Laurent- Transformation ersetzt wurde.